Königin Margrethe II. von Dänemark hat John Neumeier mit der Ehrenmedaille „Ingenio et arti“ im Anschluss an die Premiere seines Balletts „Dritte Sinfonie von Gustav Mahler“ am 19. Mai im Königlichen Opernhaus Kopenhagen ausgezeichnet. Seit 1841 wird die Medaille „Ingenio et arti“ als persönliche Ehrung des dänischen Königshauses an herausragende Persönlichkeiten im Bereich Künste und Wissenschaftler verliehen.
John Neumeier hat im Verlauf seiner Karriere enge Verbindungen zu Dänemark und dem Königlich Dänischen Ballett aufgebaut, mit Königin Margrethe ist er persönlich befreundet. 1985 schuf er auf Einladung der Compagnie zur Wiedereröffnung des renovierten Königlich-Dänischen Theaters „Amleth“. Dieses Ballett zum Hamlet-Stoff bezieht sich nicht nur auf Shakespeares berühmtes Drama, sondern auch auf die Vorgeschichte in den „Gesta Danorum“ des Saxo Grammaticus. Eine weitere prominente Kreation für das Königlich Dänische Ballett war John Neumeiers Ballett „Die kleine Meerjungfrau“, das 2005 anlässlich von Hans Christian Andersens 200. Geburtstag entstand. Zuletzt kreierte er im Januar 2020 einen Pas de deux für die offizielle Auftaktveranstaltung Dänemarks zum 100-jährigen Jubiläum der deutsch-dänischen Grenzfestlegung mithilfe friedlicher Referenden. Die Medaille „Ingenio et arti“ wird selten vergeben, zuletzt 2020 an den ehemaligen Tivoli-CEO Lars Liebst. Zuvor wurden unter anderem mit der Medaille ausgezeichnet: Künstler und Professor Bjørn Nørgaard (1999), Schauspielerin Ghita Nørby (2006), Theaterdirektor Kasper Holten (2011) und Kunsthistoriker Hans Edvard Nørregaard-Nielsen (2013).
